Question

求下列函數(shù)的值域：
(1)y=

3x+8

x+2

；(2)y=3x-6

x-2

．

Answer 1

分析：（1）以分式的分母為整體，對分式進行分離常數(shù)，得y=3+

2

x+2

，再根據(jù)分式的分子不為0則分式不為0，即可得到函數(shù)的值域．
（2）換元：設

x-2

=t，將函數(shù)化成y=3t²-6t+6（t≥0），結合二次函數(shù)的圖象，可得當t=1即x=3時，函數(shù)有最小值為3，由此即可得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得y=

3(x+2)+2

x+2

=3+

2

x+2

…..（3分）
∵x+2≠0，

2

x+2

的分子不為0
∴

2

x+2

≠0，可得3+

2

x+2

≠3，即y≠3…..（5分）
綜上所述：函數(shù)y=

3x+8

x+2

的值域為{y|y≠3}…..（6分）
（2）設

x-2

=t，得x=t²+2（t≥0），…..（2分）
∴y=3（t²+2）-6t=3t²-6t+6，
∵3t²-6t+6=3（t-1）²+3≥3…．（5分）
∴當且僅當t=1，即x=3時，函數(shù)的最小值為3
綜上所述，函數(shù)的值域為[3，+∞）．…．（6分）

點評：本題給出分式函數(shù)和含有根式的函數(shù)，求函數(shù)的值域，著重考查了分離常數(shù)的方法求分式函數(shù)值域和換元法處理含有根式的函數(shù)值域等知識，屬于基礎題．