Question

【題目】近年來，霧霾日趨嚴重，我們的工作、生活受到了嚴重的影響，如何改善空氣質量已成為當今的熱點問題．某空氣凈化器制造廠，決定投入生產某型號的空氣凈化器，根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產該型號空氣凈化器x（百臺），其總成本為P（x）（萬元），其中固定成本為12萬元，并且每生產1百臺的生產成本為10萬元（總成本=固定成本+生產成本）．銷售收入Q（x）（萬元）滿足Q（x）= ，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），根據以述統計規律，請完成下列問題：
（1）求利潤函數y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入﹣總成本）；
（2）工廠生產多少百臺產品時，可使利潤最多？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得P（x）=12+10x，

則f（x）=Q（x）﹣P（x）=

即為f（x）=

（2）解：當x＞16時，函數f（x）遞減，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52萬元

當0≤x≤16時，函數f（x）=﹣0.5x2+12x﹣12

=﹣0.5（x﹣12）2+60，

當x=12時，f（x）有最大值60萬元．

所以當工廠生產12百臺時，可使利潤最大為60萬元．

【解析】1、根據題意可得f（x）=Q（x）﹣P（x），整理成最簡的分段函數。
2、由函數的增減性可求得，當x＞16時，函數f（x）遞減，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52萬元；再根據二次函數在指定區間上的最值求得，當0≤x≤16時，函數f（x）有最大值60萬元，綜上各式求得當工廠生產12百臺時，可使利潤最大為60萬元。