Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經過點（1，），且焦距為2．

（1）求橢圓C方程；

（2）橢圓C的左，右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求△F2AB面積S的最大值并求出相應直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）將點代入橢圓方程得，又焦距為，故得，進而根據得的值；

（2）設直線l的方程為x=my+，借助韋達定理，用m表示出三角形△F2AB面積，利用基本不等式求出最大值，進而得出直線方程。

解：（1）由已知可得，解得a2=4，b2=1，

∴橢圓C方程為+y2=1，

（2）由題中左、右焦點易知F1（-，0），F2（-，0），

若直線l的傾斜角為0，顯然F，A，B三點不構成三角形，

故直線l的傾斜角不為0，可設直線l的方程為x=my+，

由，

消x可得（m2+4）y2+2my-1=0．

設A（x1，y1）、B（x2，y2），

則y1+y2= -，y1y2= -．

∴|y1-y2|=═=．

∴△F2AB的面積S=|F1F2||y1-y2|=4=4

=4≤4=2．

當且僅當m2+1=3，即m=±時，等號成立，S取得最大值2，

此時直線l的方程為x+y-=0，或x-y-=0．