Question

已知橢圓（），圓：，過橢圓上任一與頂點不重合的點引圓的兩條切線，切點分別為，直線與軸、軸分別交于點，則          

Answer 1

解析考點：橢圓的簡單性質。
分析：設A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），則可得切線PA、PB的方程，即可得到A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點，求出點M（b²/ x_P，0），N（0，b²/ y_P），從而得到的值。
解答：
設A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），則切線PA、PB的方程分別為 x_A?x+y_A?y=1，
x_B?x+y_B?y=b²．由于點P 是切線PA、PB的交點，
故點P的坐標滿足切線PA的方程，也滿足切線PAB的方程．
故A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點，
故點M（b²/ x_P，0），N（0，b²/ y_P），
又x_P² / a²+ y_P²/ b²=1，  = a²y_P²/ b⁴+ a²x_P²/ b⁴=（x_P² / a²+ y_P²/ b²）?a²/ b²= a²/ b²。
∴
= a²y_P²/ b⁴+ a²x_P²/ b⁴=（x_P² / a²+ y_P²/ b²）?a²/ b²= a²/ b²。
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，得到故A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點，是解題的難點和關鍵。