Question

【題目】已知函數 ． （Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a為奇函數，求a的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）在（0，+∞）內的單調性，并用定義證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ∴g（x）=f（x）﹣a= ，
∵g（x）是奇函數，
∴g（﹣x）=﹣g（x），即 ，
解之得a=1．
（Ⅱ）設0＜x1＜x2 ， 則
= ．
∵0＜x1＜x2 ，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，從而 ，
即f（x1）＜f（x2）．
所以函數f（x）在（0，+∞）內是單調增函數
【解析】（I）根據f（x）表達式，得g（x）= ，再根據奇函數的定義采用比較系數法即可求出實數a的值．（II）設0＜x1＜x2 ， 將f（x1）與f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），結合函數奇偶性的定義得到函數f（x）在（0，+∞）內是單調增函數．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調性的綜合，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．