Question

【題目】已知函數f（x）=loga（ax﹣1）（ a＞0，a≠1 ）
（1）討論函數f（x）的定義域；
（2）當a＞1時，解關于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）當a=2時，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m對任意實數x∈[1，3]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由ax﹣1＞0，得ax＞1．

當a＞1時，x＞0；

當0＜a＜1時，x＜0．

所以f（x）的定義域是當a＞1時，x∈（0，+∞）；當0＜a＜1時，x∈（﹣∞，0）．

（2）解：當a＞1時，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

則ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1．

因為a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2）

故當a＞1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數．

∵f（x）＜f（1）；

∴ax﹣1＜a﹣1，

∵a＞1，∴x＜1

（3）解：∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣ 在[1，3]上是單調增函數，

∴g（x）min=﹣log23，

∵m＜g（x），

∴m＜﹣log23

【解析】1、本題考查的是對數函數的定義域以及指數不等式的解法，當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0．
2、本題考查的是對數不等式的解法因為a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2），由對數函數的增減性可得

f（x）＜f（1）；ax﹣1＜a﹣1，a＞1，∴x＜1。
3、本題考查的是復合函數的單調性問題，由g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣ ) 在[1，3]上是單調增函數,g（x）min=﹣log23，m＜g（x），m＜﹣log23.

【考點精析】認真審題，首先需要了解指數函數的圖像與性質(a0=1, 即x=0時，y=1，圖象都經過(0，1)點;ax=a，即x=1時，y等于底數a;在0<a<1時:x<0時，ax>1,x>0時，0<ax<1;在a>1時:x<0時,0<ax<1,x>0時，ax>1)．