Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數圖象在點處的切線方程；

（2）當時，討論函數的單調性

（3）是否存在實數，對任意的 有恒成立？若存在，求出的取值范圍:若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】分析：（1）先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率為，最后根據點斜式求切線方程，（2）先求導數，解得導函數零點，根據兩零點大小關系分類討論導函數符號，最后根據導函數符號確定函數單調性，（3）先調整不等式為，再構造函數，轉化為在上單調遞增，即恒成立，最后利用變量分離法轉化為對應函數最值問題最小值，利用二次函數性質求最值可得結果.

詳解：（1）當時，，，所以所求的切線方程為，即．

（2）①當，即時，，在上單調遞增．

②當，即時，因為或時，；當時，，在，上單調遞增，在上單調遞減；

③當，即時，因為或時，；當時，，在，上單調遞增，在上單調遞減．

（3）假設存在這樣的實數，滿足條件，不妨設，由知，令，則函數在上單調遞增．所以，即在上恒成立，所以，故存在這樣的實，滿足題意，其取值范圍為．