Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，EF∥AC，AE=AB，AC=2EF.

（1）求證：平面BED⊥平面AEFC；

（2）若四邊形AEFC為直角梯形，且EA⊥AC，求二面角B-FC-D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）首先根據題中條件證明線面垂直，然后根據線面垂直證明面面垂直.

（2）首先建立空間直角坐標系，然后求出點的坐標，求出平面法向量，利用二面角公式求出二面角的余弦值.

（1）因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，

所以，

又因為平面AEFC⊥平面ABCD，

平面AEFC平面ABCD，

平面ABCD，所以平面AEFC，

又因為平面，所以平面BED⊥平面AEFC.

（2）建立如圖所示空間直角坐標系

可知，，

點，

則,

設為平面的法向量，為平面的法向量，

由，，

解得，

設二面角B-FC-D為，

所以