Question

在平面直角坐標系中，已知三個點列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），滿足向量

AnAn+1

與向量

BnCn

平行，并且點列{B_n}在斜率為6的同一直線上，n=1，2，3，…．
（1）證明：數列{b_n}是等差數列；
（2）試用a₁，b₁與n表示a_n（n≥2）；
（3）設a₁=a，b₁=-a，是否存在這樣的實數a，使得在a₆與a₇兩項中至少有一項是數列{a_n}的最小項？若存在，請求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（4）若a₁=b₁=3，對于區間[0，1]上的任意λ，總存在不小于2的自然數k，當n≥k時，a_n≥（1-λ）（9n-6）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由經過兩點直線的斜率公式列式，結合題意列式：

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，化簡得{b_n}是公差為6的等差數列；
（2）求出

AnAn+1

、

BnCn

的坐標，平根據向量平行的條件列式，化簡得b_n=a_n+1-a_n，再根據b_n=b₁+6（n-1）采用累加法，結合等差數列求和公式即可算出a_n的表達式；
（3）由（2）的結論，得a_n=3n²-（a+9）n+2a+6，利用二次函數的圖象可得若a₆與a₇兩項中至少有一項是數列{a_n}的最小項，則對稱軸必位于[5.5，7.5]內，由此解關于a的不等式即可得到實數a的取值范圍；
（4）由（2）的結論，得a_n=3（n²-2n+2），原不等式化簡為（3n-2）λ+n²-5n+4≥0．記f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4，結合一次函數的圖象與性質建立關于n的不等式組，解出n≥4或n≤1，結合n≥2可得k的最小值為4．

解答：解：（1）∵點列{B_n}所在直線的斜率為6，
∴根據直線斜率的公式，得

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，
即b_n+1-b_n=6，因此數列{b_n}是公差為6的等差數列．…3分
（2）∵

AnAn+1

=(1，an+1-an)，

BnCn

=(-1，-bn)，
且

AnAn+1

∥

BnCn

∴b_n=a_n+1-a_n…5分
又∵b_n=b₁+6（n-1），
可得a_n+1-a_n=b₁+6（n-1），分別取n=1，2，3，…，n-1，得
a₂-a₁=b₁，a₃-a₂=b₁+6×1，a₄-a₃=b₁+6×2，…a_n-a_n-1=b₁+6（n-2），
∴以上等式相加得a_n-a₁=(n-1)b1+6×

(n-2)(n-1)

2

，
化簡，得a_n=a1+(n-1)b1+3(n2-3n+2)．…8分
（3）由（2）的結論，得a₁=a且b₁=-a時，
a_n=a-（n-1）a+3（n²-3n+2）=3n²-（a+9）n+2a+6…10分
若存在這樣的實數a，使得在a₆與a₇兩項中至少有一項是數列{a_n}的最小項，
則有5.5≤

a+9

6

≤7.5，解之得24≤a≤36．…13分
（4）由（2）的結論，得a₁=b₁=3時
a_n=3+3（n-1）+3（n²-3n+2）=3（n²-2n+2）
由a_n≥（1-λ）（9n-6），得3（n²-2n+2）≥（1-λ）（9n-6），
即（3n-2）λ+n²-5n+4≥0，…15分
記f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4，
則有

f(0)≥0 f(1)≥0

，即

n2-5n+4≥0 n2-2n+2≥0

，
解得n≥4或n≤1，結合n≥2，可得n≥4，因此k的最小值為4．…18分．

點評：本題給出以數列的項作為向量的坐標，在向量平行的情況下求數列的通項，并研究不等式恒成立的問題．著重考查了等差數列的通項公式、求和公式，考查了向量的坐標運算、二次函數的圖象與性質和不等式恒成立的討論等知識點，屬于中檔題．