Question

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點，其中在第一象限，是橢圓上一點.

（1）記、是橢圓的左右焦點，若直線過，當到的距離與到直線的距離相等時，求點的橫坐標；

（2）若點關于軸對稱，當的面積最大時，求直線的方程；

（3）設直線和與軸分別交于，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）由題意可得焦點，的坐標，進而可求出的坐標，設的坐標，注意橫坐標的范圍，在橢圓上，又到的距離與到直線的距離相等，可求出的橫坐標；

（2），，個點的位置關系，可設一個點坐標，寫出其他兩點的坐標，寫出面積的表達式，根據均值不等式可求出橫縱坐標的關系，又在橢圓上，進而求出具體的坐標，再求直線 的方程；

（3）設，的坐標，得出直線，的方程，進而求出兩條直線與軸的交點坐標，用，的坐標表示，而，又在橢圓上，進而求出結果．

（1）設，依題意得，，聯立橢圓方程：，把代入得：

，；

又因為，代入得：；

（2）設，則，則，

又因為在橢圓上，

所以，

則，當且僅當時，取等號，即，則，所以；

（3）設，

則，

則，又因為，代入得：，故為定值.