Question

設f（x）=x²-ln（x+1）
（1）當x＞0時，求證：f（x）＜x³；
（2）當n∈N^*時，求證：

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）由題意，證明f（x）＜x³恒成立，可以構造函數h（x）=x²-ln（1+x）-x³，將證明不等式恒成立問題轉化為函數h（x）＜0恒成立的問題，可利用導數求出函數的單調區間，確定出函數f（x）=x²+2x-2ln（1+x）的最小值，若最小值大于等于0，則可得2ln（1+x）≤x²+2x成立
（2）由（1）知，f(

1

k

)＜

1

k3

，即得到

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

，
用放縮法1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

，也可用數學歸納法證明．

解答：解：（1）令h（x）=x²-ln（1+x）-x³
則h′(x)=2x-

1

x+1

-3x2=-

3x3+(x-1)2

x+1

，
當x＞0時，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上單調遞減
又h（x）在x=0處連續，h（0）=0，
故當x＞0時，h（x）＜h（0）=0
即f（x）＜x³（7分）
（2）若k∈N^*時，∴

1

k

∈(0，+∞)
取x=

1

k

，得f(

1

k

)＜

1

k3

，

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

（10分）
用放縮法
當n=1時，1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

成立，
當n≥2時，

1

n3

=

1

n•n2

＜

1

n(n2-1)

=

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]
1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

＜

1

2

{(

1

1•2

-

1

2•3

)+(

1

2•3

-

1

3•4

)+…+[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]}
=1+

1

2

[

1

2

-

1

n(n+1)

]=

5

4

-

1

2n(n+1)

故得

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

．（14分）

點評：本題考查導數在最值問題中的應用以及不等式證明問題，解題的關鍵是將不等式恒成立的問題轉化為求函數的最值及利用放縮法證明不等式．