Question

（選修4-5：不等式選講）設f（x）=x²-x+l，實數a滿足|x-a|＜l，求證：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1．

Answer 1

證明：∵f（x）=x²-x+1，|x-a|＜l，
∴|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|，
又|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1），
∴：|f （x）-f （a）|＜2（|a|+1）成立．
分析：先證明∴|f（x）-f（a）|＜|x+a-1|，再證|x+a-1|＜1+|2a|+1，從而證得結論．
點評：本題考查絕對值不等式的性質，式子的變形是解題的難點和關鍵．