Question

【題目】如圖，邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，點M在線段EC上．

（Ⅰ）證明：平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）判斷點M的位置，使得三棱錐B﹣CDM的體積為 ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）點M在線段CE的三等分點且靠近C處.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意結合勾股定理可得AD⊥BD，由面面垂直的性質可得BD⊥ED，據此可得BD⊥平面ADEF，故平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）在平面DMC內，過M作MN⊥DC，垂足為N，轉換頂點，VB﹣CDM=VM﹣CDB，據此可得，利用相似三角形的性質可得，即點M在線段CE的三等分點且靠近C處．

試題解析：

（Ⅰ）∵DC=BC=1，DC⊥BC，

∴BD=，

∵AD=，AB=2，

∴AD2+BD2=AB2 ，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

∴ED⊥平面ABCD，

∴BD⊥ED，

∵AD∩DE=D，

∴BD⊥平面ADEF，

∵BD平面BDM，

∴平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）如圖，在平面DMC內，過M作MN⊥DC，垂足為N，則MN∥ED，

∵ED⊥平面ABCD，

∴MN⊥平面ABCD，

∵VB﹣CDM=VM﹣CDB=，

∴××1×1×MN=，

∴MN=，

∴=，

∴CM=CE，

∴點M在線段CE的三等分點且靠近C處．