Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣mx（m∈R）．
（1）當m=0時，求函數f（x）的零點個數；
（2）當m≥0時，求證：函數f（x）有且只有一個極值點；
（3）當b＞a＞0時，總有 ＞1成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=0時，f（x）= ，（x＞0），f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，

∴f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，

∵f（x）max=f（e）= ＞0，f（ ）=﹣e＜0，

∴f（x）在（0，e）有且只有一個零點，

x＞e時，f（x）＞0恒成立，

∴f（x）在（e，+∞）無零點，

綜上，m=0時，f（x）有且只有一個零點；

（2）證明：∵f（x）= ﹣mx（m≥0），

f′（x）= （x＞0），

令g（x）=1﹣lnx﹣mx2，g′（x）=﹣ ﹣2mx＜0，

∴g（x）在（0，+∞）遞減，

∵g（ ）=1+ ﹣ ＞0，（∵em＞m），g（e）=﹣me2＜0，

∴x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，

∴x∈（0，x0）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）遞增，

x∈（x0，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）遞減，

∴x=x0是f（x）的極大值點，

即m≥0時，函數f（x）有且只有一個極值點；

（3）解：∵b＞a＞0時，總有 ＞1成立，

即b＞a＞0時，總有f（b）﹣b＞f（a）﹣a成立，

也就是函數h（x）=f（x）﹣x在區間（0，+∞）遞增，

由h（x）= ﹣（m+1）x（x＞0）得：h′（x）= ﹣（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，

即m≤ ﹣1在（0，+∞）恒成立，

設k（x）= ﹣1，則k′（x）= （x＞0），

∴令k′（x）＞0，解得：x＞ ，令k′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴k（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

∴k（x）min=k（ ）=﹣ ﹣1，

故所求m的范圍是（﹣，﹣ ﹣1）．

【解析】（1）求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的最大值，從而得到函數的零點個數；（2）求出f（x）的導數得到g（x）=1﹣lnx﹣mx2 ， 求出g（x）的導數，根據函數的單調性證明函數的零點個數即可；（3）問題轉化為函數h（x）=f（x）﹣x在區間（0，+∞）遞增，由h（x）= ﹣（m+1）x（x＞0），求出h（x）的導數，根據函數的單調性得到m≤ ﹣1在（0，+∞）恒成立，從而求出m的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．