Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x-lnx，則y=f（x）

 

．（填寫正確命題的序號(hào)）
①在區(qū)間（

1

e

，1），（1，e）內(nèi)均有零點(diǎn)； ②在區(qū)間（

1

e

，1）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e）內(nèi)無零點(diǎn)；
③在區(qū)間（

1

e

，1），（1，e）內(nèi)均無零點(diǎn)； ④在區(qū)間（

1

e

，1）內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的四個(gè)命題中所提到兩個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字，做出三個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，觀察兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)是否相反，根據(jù)零點(diǎn)的判定定理得到結(jié)果．

解答：解：根據(jù)題意，f′（x）=

x-3

3x

，
令f′（x）=0得x=3，
故知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上為減函數(shù)，在區(qū)間（3，+∞）為增函數(shù)，
在點(diǎn)x=3處有極小值1-ln3＜0；
∵f（

1

e

）=

1

3e

+1＞0，
f（1）=

1

3

＞0，
f（e）=

e

3

-1＜0，
則f（x）在（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（

1

e

，1）內(nèi)無零點(diǎn)，
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)，本題解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)在幾個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．