Question

【題目】設不等式x2+y2≤4確定的平面區域為U，|x|+|y|≤1確定的平面區域為V．
（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”，在區域U內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域V的概率；
（2）在區域U內任取3個點，記這3個點在區域V的個數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題可知平面區域U的整點為（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13個，

平面區域V的整點為（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5個，

∴

（2）解：依題可得：平面區域U的面積為：π22=4π，平面區域V的面積為： ，

在區域U內任取1個點，則該點在區域V內的概率為 ，

易知：X的可能取值為0，1，2，3，

且 ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

∴X的數學期望：

（或者： ，故

【解析】（1）由題意知本題是一個古典概型，用列舉法求出平面區域U的整點的個數N，平面區域V的整點個數為n，這些整點中恰有2個整點在區域V的概率 ；（2）依題可得：平面區域U的面積為：π22=4π，平面區域V的面積為： ，在區域U內任取1個點，則該點在區域V內的概率為 ，易知：X的可能取值為0，1，2，3，則X∽B（3， ），代入概率公式即可求得求X的分布列和數學期望．