Question

已知函數在x=1處取到極值2
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數g（x）=ax-lnx．若對任意的，總存在唯一的，使得g（x₂）=f（x₁），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，函數，易求出導函數的解析式，再由函數在x=1處取到極值2，其導函數在x=1處等0，易構造一個關于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）我們可以求出函數導函數的解析式，進而可分別出函數f（X）的單調性，由此易判斷f（x）在區間[，2]上的值域，由對任意的，總存在唯一的，使得g（x₂）=f（x₁），及函數g（x）=ax-lnx．我們分別對a值與e及e²的關系進行分類討論，即可得到滿足條件的實數a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）==
f（x）在x=1處取到極值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，
解得m=4，n=1，經檢驗，此時f（x）在x=1處取得極值．故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，由，故f（x）的值域為
依題意，記，∵x∈M∴
（ⅰ）當a≤e時，g'（x）≤0，g（x），依題意由得，
故此時
（ⅱ）當e＜a≤e²時，＞＞當時，g′（x）＜0，當時，g′（x）＞0．依題意由，得，即．與a＞e矛盾
（ⅲ）當a＞e²時，＜，此時g′（x）＞0，g（x）．依題意得 即此不等式組無解綜上，所求a取值范圍為0≤a≤e
點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，函數解析式的求解及常用方法，函數在某點取得極值的條件，其中根據已知條件構造關于m的方程，進而求出函數f（x）的解析式是解答的關鍵．