Question

已知函數在x=1處取到極值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數．若對任意的x₁∈R，總存在x₂∈[1，e]，使得，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數的求導公式計算函數的導數，根據函數在x=1處取到極值得出函數在x=1處的導數為0，再把x=2代入函數，聯立兩式求出m，n的值即可．
已知函數在x=1處取到極值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定義域為R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數．f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，f（x）=≤2．當且僅當x=1時取“=”．
故f（x）的值域為[-2，2]．從而．依題意有（7分）
解答：解：（Ⅰ）（2分）
根據題意，f（x）=，
f′（x）=-；
由f（x）在x=1處取到極值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，
解得m=4，n=1，經檢驗，此時f（x）在x=1處取得極值．故（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定義域為R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數．f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，f（x）=≤2．當且僅當x=1時取“=”．
故f（x）的值域為[-2，2]．從而．依題意有（7分）
函數的定義域為（0，+∞），（8分）
①當a≤1時，g′（x）＞0函數g（x）在[1，e]上單調遞增，其最小值為合題意；
②當1＜a＜e時，函數g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，單調遞減，在（a，e]上有g′（x）＞0，單調遞增，所以函數g（x）最小值為f（a）=lna+1，由，得．從而知符合題意．
③當a≥e時，顯然函數g（x）在[1，e]上單調遞減，其最小值為，不合題意（11分）綜上所述，a的取值范圍為（12分）
點評：該題考查函數的求導，以及函數極值的應用，考查一個函數小于零一個函數時，小于它的最小值．要會利用函數的導數判斷函數的單調性．