Question

【題目】已知函數，，其中．

（1）設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同，用表示，并求的最大值；

（2）設，證明：若≥1，則對任意， ，，有

Answer 1

【答案】（1），最大值為（2）見解析

【解析】分析：（1）設f（x）與g（x）的圖象交于點P（x0，y0）（x0＞0），則有f（x0）=g（x0），求出導數，由斜率相等，求得切點的橫坐標，可得b的解析式，求出導數，單調區間，可得最大值；

（2）不妨設x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，原不等式變形得h（x2）﹣14x2＞h（x1）﹣14x1，構造函數T（x）=h（x）﹣14x，求出導數，判斷單調性，即可得到結論．同理可證，當x1＞x2時，命題也成立．

詳解：（1）設的圖象交于點，則有，

即 ①

又由題意知，即 ②

由②解得

將代入（1）整理得

令，則

當時，單調遞增，當時單調遞減，

所以，即，的最大值為

（2）證明：不妨設，

變形得

令，，

，

所以 在上單調遞增，，

即成立

同理可證,當時,命題也成立

綜上, 對任意，，，不等式成立.