Question

【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點和.設線段， 的中點分別為，求證：直線恒過一個定點；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）過定點，（3）4

【解析】試題分析：（Ⅰ）先借助拋物線定義確定曲線的形狀是拋物線，再確定參數，進而求出；（Ⅱ）先依據（Ⅰ）的結論分別建立的方程，再分別與拋物線聯立方程組，求出弦中點為的坐標，最后借助斜率的變化確定直線經過定點；（Ⅲ）在（Ⅱ）前提條件下，先求出，然后建立面積關于變量的函數，再運用基本不等式求其最小值：

解：（Ⅰ）由題意可知：動點到定點的距離等于到定直線的距離.根據拋物線的定義可知，點的軌跡是拋物線.

∵，∴拋物線方程為：

（Ⅱ）設兩點坐標分別為，則點的坐標為.

由題意可設直線的方程為.

由，得.

.

因為直線與曲線于兩點，所以.

所以點的坐標為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標為.

當時，有，此時直線的斜率.

所以，直線的方程為，整理得.

于是，直線恒過定點；

當時，直線的方程為，也過點.

綜上所述，直線恒過定點.

（Ⅲ）可求得.所以面積.

當且僅當時，“ ”成立，所以面積的最小值為4.