Question

如圖,已知三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC與底面ABC成相等的角，∠CAB=90°,AC=AB,D為BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在PB上，PC∥截面EAD.

(1)求證:平面PBC⊥底面ABC.
(2)若AB=PB，求AE與底面ABC所成角的正弦值.

Answer 1

(1)證明:∵PA、PB、PC與底面ABC成等角,
∴頂點(diǎn)P在底面上的射影為底面Rt△CAB的外心.
而Rt△CAB的外心在斜邊BC的中點(diǎn)D處,
即PD⊥平面ABC,
而平面PBC,
∴平面PBC⊥底面ABC.
(2)解:∵PC∥截面EAD,平面PBC,
且平面PBC∩平面EAD=DE,
∴PC∥DE,而D為BC中點(diǎn),
∴E為PB的中點(diǎn).
過E作EM∥PD,
則EM與BC的交點(diǎn)M為BD的中點(diǎn),連結(jié)AM,
∵PD⊥底面ABC,∴EM⊥底面ABC.
∴∠EAM為AE與底面ABC所成的角.
設(shè)AB=AC=PB=a,則,
而PB=PC=a,,
∴PB²+PC²=BC².
∴△CPB為等腰直角三角形.
∴,.
在Rt△AEM中,.
∴AE與底面ABC所成角的正弦值為.

空間直線和平面