Question

（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²－y²＝1.
(1)過C₁的左頂點引C₁的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
(2)設斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點．若l與圓x²＋y²＝1相切，求證：OP⊥OQ；

Answer 1

(1) S＝|OA||y|＝.(2)見解析。

(1)先把雙曲線的方程化成標準方程可求出a值，從而得到左頂點A,漸近線方程：y＝±x,然后可設出過點A與漸近線y＝x平行的直線方程為y＝，即y＝x＋1.它再與另一條漸近線方程聯立解方程組可求出交點坐標，從而得到所求三角形的高，度顯然等于|OA|，面積得解.
(2) 設直線PQ的方程是y＝x＋b，因直線PQ與已知圓相切，
故＝1，即b²＝2.
由得x²－2bx－b²－1＝0（*）
設P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，然后證·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(x₁＋b)(x₂＋b)=2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²,借助（*）式方程中的韋達定理代入此式證明·＝0即可.
(1)雙曲線C₁：－y²＝1，左頂點A，漸近線方程：y＝±x.
過點A與漸近線y＝x平行的直線方程為y＝，即y＝x＋1.
解方程組得
所以所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝.
(2)設直線PQ的方程是y＝x＋b，因直線PQ與已知圓相切，
故＝1，即b²＝2.
由得x²－2bx－b²－1＝0.
設P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，則
又y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)，所以
·＝x₁x₂＋y₁y₂＝2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²
＝2(－1－b²)＋2b²＋b²＝b²－2＝0.
故OP⊥OQ.