Question

【題目】已知多面體的底面是邊長為的菱形， 底面， ，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）通過證明平面，而，所以平面，由面面垂直的判定定理證明；（2）由（1）知平面，所以是三棱錐的高，而為直角三角形，易算出三棱錐的體積。

試題解析：（1）證明：連接，交于點，設中點為，連接， .因為， 分別為， 的中點，所以，且，因為，且，所以，且.

所以四邊形為平行四邊形，所以，即.

因為平面， 平面，所以.

因為是菱形，所以.因為，所以平面.

因為，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（2）因為，所以是等邊三角形，所以.

又因為平面， 平面，所以.

所以.

因為面，所以是三棱錐的高.

因為，

所以 .