Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，滿足.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，，與直線交于點（介于，兩點之間）.

（i）求證：；

（ii）是否存在直線，使得直線、、、的斜率按某種順序能構成等比數列？若能，求出的方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）見解析（ii）

【解析】試題分析：

（1）設，由題意可得，所以. 結合橢圓的定義可得. 則橢圓C的標準方程為.

（2）(ⅰ)設方程為，與聯立可得. 則的斜率是.

聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理可得 ，和中，由正弦定理得，，結合幾何關系可得成立.

(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.假設存在直線，滿足題意.不妨設，，若按某種排序構成等比數列，則，則，此時直線與平行或重合，與題意不符，則不存在直線滿足題意.

試題解析：

（1）設，

則=，所以.

因為=4，所以.

故橢圓C的標準方程為.

（2）(ⅰ)設方程為，與聯立，消得

, 由題意知，解得.

因為直線與的傾斜角互補，所以的斜率是.

設直線方程：，，聯立，整理得，由，得，，；

直線、的斜率之和

所以關于直線對稱，即，

在和中，由正弦定理得

，，

又因為，

所以

故成立.

(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.

假設存在直線，滿足題意.不妨設，，若按某種排序構成等比數列，設公比為，則或或.

所以，則，此時直線與平行或重合，與題意不符，

故不存在直線，滿足題意.