Question

【題目】已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）把點代入橢圓C的方程，再結合離心率，可得a,b,c的關系，可得橢圓的方程；

（2）設出直線的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點的坐標，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點．

（1）由題可得∴，所以橢圓的方程

（2）由題知，設，直線的斜率存在設為，

則與橢圓聯立得

，，∴，，∴

若以為直徑的圓經過點，

則，∴，

化簡得，∴，解得或

因為與不重合，所以舍.

所以直線的方程為.