Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點A、B為橢圓C的左右頂點，直線與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A、B的動點，直線AP、BP分別交直線于E、Ｆ兩點，當點P在橢圓C上運動時，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值1

【解析】

(1) 由題意可知,,結合，可求出橢圓方程.

(2) 設,則直線AP的方程為，求出，同理得出，將點在橢圓上這個條件代入，可得到答案.

（1）由題意可知

又因為且，解得，

所以橢圓C的方程為；

（2）為定值1.

由題意可得：，設，由題意可得：，

所以直線AP的方程為，令，則，

即；

同理：直線BP的方程為，令，則，

即；

所以

而，即，

代入上式得，

所以為定值1.