Question

在三棱錐V-ABC中，底面△ABC是以∠ABC為直角的等腰三角形．又V在底面ABC上的射影H在線段AC上且靠近點C，AC=4，，VB和底面ABC所成的角為45°．
（Ⅰ）求點V到底面ABC的距離；
（Ⅱ）求二面角V-AB-C的大小的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可知VH⊥底面ABC，連BH，設(shè)BH=VH=h，O為AC的中點，在Rt△ABC中，求出OB，在Rt△OBH中，求出OH，在Rt△VAH中，利用勾股定理建立等式，即可求出h，得到所求；
（Ⅱ）過H作HM⊥AB于M，連接VM，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠VMH為二面角V-AB-C的平面角，最后在三角形VMH中求出此角的正切值．
解答：解：（Ⅰ）∵V在底面ABC上的射影H在線段AC上且靠近點C，
∴VH⊥底面ABC．連BH，則∠VBH=45°．設(shè)BH=VH=h，O為AC的中點，
則BO⊥AC，BO⊥OH．∴在Rt△ABC中，．在Rt△OBH中，．
在Rt△VAH中，，解得．故點V到底面ABC的距離為．
（Ⅱ）∵，∴．過H作HM⊥AB于M，連接VM，則∠VMH為二面角V-AB-C的平面角．
∵，∴．
點評：本題考查立體幾何的距離問題和二面角大小的問題．考查考生的運算能力及空間關(guān)系的理解能力．