Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=2，VC=

2

．
（1）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V-AB-C的大小；
（3）求點C到平面VAB的距離．

Answer 1

分析：（1）三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，以CA為x軸，以CB為y軸，以CV為z軸，建立空間直角坐標系，由此能夠證明AB⊥平面VCD，故平面VAB⊥平面VCD．
（2）由AB⊥平面VCD，知∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的大小．
（3）先求出平面VAB的法向量

n

=(1，1，

2

)，利用向量法能夠求出點C到平面VAB的距離．

解答：（1）證明：∵三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴以CA為x軸，以CB為y軸，以CV為z軸，建立空間直角坐標系，
∵D是AB的中點，且AC=BC=2，VC=

2

，
∴V（0，0，

2

），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），C（0，0，0）
∴

CD

=(1，1，0)，

AB

=(-2，2，0)，

CV

=(0，0，

2

)，
∴

AB

•

CD

=-2+2+0=0，

AB

•

CV

=0+0+0=0，
故AB⊥CD，AB⊥CV，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）解：由（1）知AB⊥平面VCD，
∴∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，
∵AC=BC=2，VC=

2

，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴VC=CD=

2

，VC⊥CD，
∴∠VDC=

π

4

，
故二面角V-AB-C的大小為

π

4

．
（3）解：∵V（0，0，

2

），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
∴

VA

=(2，0，-

2

)，

VB

=(0，2，-

2

)，

CV

=（0，0，

2

），
設平面VAB的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

VA

=0，

n

•

VB

=0，
∴

2x- 2 z=0 2y- 2 z=0

，解得

n

=(1，1，

2

)，
∴點C到平面VAB的距離d=

| n • CV |

| n |

=

|0+0+2|

2

=1．

點評：本題考查平面垂直的證明，考查二面角大小的求法，考查點到平面的距離的求法．解題時要認真審題，注意等價轉化思想和向量法的合理運用．