Question

（2012•增城市模擬）如圖，在三棱錐V-ABC中，AB=2

3

VC=1，VA=VB=AC=BC=2．
（1）求證：AB⊥VC；
（2）求V_V-ABC．

Answer 1

分析：（1）證明AB⊥VC，只需證明AB⊥平面CDV，取AB的中點D，連VD，CD（，利用VA=VB，AC=BC，即可證得；
（2）利用V_V-ABC=V_A-VCD+V_B-VCD，即可求得結論．

解答：（1）證明：取AB的中點D，連VD，CD（1分）
∵VA=VB，AC=BC，∴VD⊥AB，CD⊥AB（3分）
∵VD∩CD=D
∴AB⊥平面CDV（5分）
∵VC?平面CDV
∴AB⊥VC（7分）
（2）解：∵VA=VB=AC=BC=2，AB=2

3

，
∴VD=CD=

VA2-AD2

=1（9分）
∵VC=1，∴S△VCD=

3

4

（10分）
∵AB⊥平面CDV
∴V_V-ABC=V_A-VCD+V_B-VCD（11分）=

1

3

•S△VCD•AB（13分）
=

1

3

•

3

4

•2

3

=

1

2

（14分）

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐的體積，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定定理，正確運用三棱錐的體積公式．