Question

（1）已知p：25x²-10x+1-a²＞0（a≥0），q：2x²-3x+1＞0，若p是q成立的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
（2）已知p：方程x²+mx+1=0有兩不相等的負實數根；q：方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，若p∨q為真，p∧q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用充分條件和必要條件的定義進行求范圍．
（2）利用復合命題與簡單命題的真假關系進行求范圍．

解答：解：（1）由25x²-10x+1-a²＞0（a≥0），得[5x-（1-a）][5x-（1+a）]＞0，
即對應方程[5x-（1-a）][5x-（1+a）]=0的根為x1=

1-a

5

，x2=

1+a

5

，
因為a＞0，所以x₁＜x₂，
所以不等式的解為x＞

1+a

5

或x＜

1-a

5

．即p：x＞

1+a

5

或x＜

1-a

5

．
由2x²-3x+1＞0得x＞1或x＜

1

2

．即q：x＞1或x＜

1

2

．
因為p是q成立的充分不必要條件，
所以

1+a 5 ≥1 1-a 5 ≤ 1 2

，解得

a≥4 a≥- 3 2

，所以a≥4．
（2）因為方程x²+mx+1=0有兩不相等的負實數根，所以x₁＜0，x₂＜0，
則

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2=1＞0

，解得m＞2．
即p：m＞2．
若方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，
則△=16（m-2）²-4×4＜0，解得1＜m＜3．
即q：1＜m＜3．
若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假．
若p真q假時，m≥3．
若p假q真時，1＜m≤2．
綜上m≥3或1＜m≤2．

點評：本題主要考查了充分條件和必要條件的應用，已經復合命題真假之間的關系．