Question

3．已知點A（-1，0），B（1，0）為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右頂點，點M在雙曲線上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則該雙曲線的標準方程為（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． x²-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，過點M作MN⊥x軸，得到Rt△BNM，通過求解直角三角形得到M坐標，代入雙曲線方程可得a與b的關系，結合a，b，c的關系，求出a=b．由a=1，即可求得雙曲線的標準方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），如圖所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，
過點M作MN⊥x軸，垂足為N，則∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故點M的坐標為M（2a，$\sqrt{2}$a），
代入雙曲線方程得 $\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即為a²=b²，
由A（-1，0），B（1，0）為雙曲線的雙曲線左右頂點，
則a=b=1，
∴雙曲線的標準方程：x²-y²=1，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質：離心率，注意運用點滿足雙曲線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．