Question

【題目】已知函數，.

（1）若在處的切線與在處的切線平行，求實數的值；

（2）若，討論的單調性；

（3）在（2）的條件下，若，求證：函數只有一個零點，且．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析（3）見解析

【解析】分析：（1）先求一階導函數，，用點斜式寫出切線方程

（2）先求一階導函數的根，求解或的解集，判斷單調性。

（3）根據（2）的結論，求出極值畫出函數的示意圖，分析函數只有一個零點的等價條件是極小值大于零，函數在是減函數，故必然有一個零點。

詳解：（1）因為，所以；又。

由題意得，解得

（2），其定義域為，

又，令或。

①當即時，函數與隨的變化情況如下：

當時，，當時，。

所以函數在單調遞增，在和單調遞減

②當即時，，

所以，函數在上單調遞減

③當即時，函數與隨的變化情況如下：

當時，，當時，。

所以函數在單調遞增在和 上單調遞減

（3）證明：當時，

由①知，的極小值為，極大值為.

因為

且又由函數在是減函數，可得至多有一個零點

又因為，

所以 函數只有一個零點， 且.