Question

【題目】設是在點處的切線．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）設，其中．若對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由導數值得切線斜率，進而得切線方程，即可求函數f（x）的解析式；

（Ⅱ）令，求導證得；

（Ⅲ），① 當時，由（Ⅰ）得 ，可得，進而得在區間上單調遞增， 恒成立，② 當時，可得在區間上單調遞增，存在，使得， ，此時不會恒成立，進而得的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）設，則，所以．

所以．

（Ⅱ）令．

滿足，且．

當時， ，故單調遞減；

當時， ，故單調遞增．

所以， ）．

所以．

（Ⅱ）的定義域是，且．

① 當時，由（Ⅰ）得 ，

所以 ．

所以 在區間上單調遞增，

所以 恒成立，符合題意．

② 當時，由，

且的導數，

所以 在區間上單調遞增．

因為 ， ，

于是存在，使得．

所以 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以 ，此時不會恒成立，不符合題意．

綜上， 的取值范圍是．