Question

【題目】已知函數= ， .

（1）若函數在處取得極值，求的值，并判斷在處取得極大值還是極小值.

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由得到，并通過求導判斷得到處取得極小值；（2）在上恒成立，令，通過分類討論，得到時， ，所以。

試題解析：

（1）的定義域是，=，由得.

當時，=，=

恒成立， 令=，=恒成立

在上單調遞增，又因為

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

當時，在處取得極小值.

（2）由得在上恒成立

即在上恒成立.

解法一（將絕對值看成一個函數的整體進行研究）：

令，

①當時，在上單調遞減，，，所以的值域為：，因為，所以的值域為；所以不成立.

②當時，易知恒成立.，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以，所以，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，依題意，，所以.

綜上：

解法二（求命題的否定所對應的集合，再求該集合的補集）：

命題“對都成立”的否定是“在上有解”

在上有解在上有解

在上有解

令，.

，所以在上單調遞增，又，所以無最小值.所以；

令，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

所以,所以.

因為在上有解時，；

所以對都成立時，.