Question

【題目】如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= CD=a，PD= a．
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接PC，交DE與N，連接MN，

在△PAC中，∵M，N分別為兩腰PA，PC的中點

∴MN∥AC，

又AC面MDE，MN面MDE，

所以 AC∥平面MDE

（2）解：以D為空間坐標系的原點，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則P（0，0， a），B（a，a，0），C（0，2a，0），

所以 ， ，

設平面PAD的單位法向量為 ，則可取

設面PBC的法向量 ，

則有

即： ，取z=1，

則 ∴

設平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，

∴

∴θ=60°，

所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60°

【解析】（1）連接PC，交DE與N，連接MN，所以MN∥AC，再根據線面平行的判定定理可得答案．（2）以D為空間坐標系的原點，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角．