Question

（2013•萊蕪二模）已知定點A(

p

2

，0)（p為常數，p＞O），B為x軸負半軸上的一個動點，動點M使得|AM|=|AB|，且線段BM的中點在y軸上．
（I）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設EF為曲線C的一條動弦（EF不垂直于x軸），其垂直平分線與x軸交于點T（4，0），當p=2時，求|EF|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出動點M的坐標，由題意把B和G用M的坐標表示，根據|AM|=|AB|，可知GA⊥GM，寫出對應的向量的坐標，由數量積等于0列式可得M的軌跡C的方程，注意M在x軸上時不合題意； 
（Ⅱ）設出EF所在直線方程y=kx+b，和拋物線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求出EF中點的坐標，寫出其垂直平分線方程，由垂直平分線過點T（4，0），得到k和b的關系，用k表示b，由方程的判別式大于0求出k的范圍，由弦長公式寫出EF的長度，最后利用配方法球最值．

解答：解：如圖，

（Ⅰ）設M（x，y），則BM的中點G的坐標為(0，

y

2

)，B（-x，0）．
又A（

p

2

，0），故

GA

=(

p

2

，-

y

2

)，

GM

=(x，

y

2

)．
由題意知GA⊥GM，所以

GA

•

GM

=

px

2

-

y2

4

=0，
所以y²=2px．
當M點在x軸上時不滿足題意，故曲線C的方程為y²=2px（p＞0，x≠0）；
（Ⅱ）設弦EF所在直線方程為y=kx+b，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
由

y=kx+b y2=4x

，得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0①
則x1+x2=

4-2kb

k2

，x1x2=

b2

k2

．
則線段EF的中點為(

2-kb

k2

，

2-kb

k

+b)，即(

2-kb

k2

，

2

k

)．
線段EF的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-kb

k2

)．
令y=0，x=4，得-

2

k

=-

1

k

(4-

2-kb

k2

)，得bk=2-k²，所以b=

2-k2

k

．
所以|EF|2=(1+k2)•(x1-x2)2=(1+k2)•[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[(

4-2kb

k2

)2-

4b2

k2

]=16(1+k2)•

1-kb

k4

=16(1+k2)•

2k2-1

k4

=16(-

1

k4

+

1

k2

+2)=-16(

1

k2

-

1

2

)2+36．
再由①，△=（2kb-4）²-4k²b²=4k²b²-16kb+16-4k²b²=16-16kb
=16-16（2-2k²）=32k²-16＞0．
得：k2＞

1

2

，即0＜

1

k2

＜2．
所以，當

1

k2

=

1

2

，即k=±

2

時，|EF|²取得最大值，最大值等于36，即|EF|的最大值為6．

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．