Question

若a，b∈（0，+∞），且a+b=ab，則a²+b²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：把a+b=ab兩邊平方整理得 a²+b²=（ab-1）²-1根據不等式定理a²+b²≥2ab，同理可得a+b≥2

ab

，進而求得

ab

的范圍，進而求得a²+b²的最小值

解答：解：a²+b²=（a+b）²-2ab
因為a+b=ab
所以 a²+b²=（ab）²-2ab+1-1=（ab-1）²-1
根據不等式定理a²+b²≥2ab，同理可得a+b≥2

ab

∴ab≥2

ab

，
∴

ab

≥2
∴ab≥4 （等號當且僅當a=b=2時成立）
所以原式≥（4-1）²-1=8
∴最小值為8
故答案為8

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．要把握住基本不等式中的“一正”，“二定”，“三相等”的特點．