Question

【題目】設拋物線C:與直線交于A、B兩點.

（1）當取得最小值為時，求的值.

（2）在（1）的條件下，過點作兩條直線PM、PN分別交拋物線C于M、N（M、N不同于點P）兩點，且的平分線與軸平行，求證：直線MN的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析，定值.

【解析】

（1）先確定直線過拋物線焦點，再根據拋物線定義求，最后根據最小值求的值；

（2）先確定PM、PN的斜率互為相反數，再設直線PM方程，與拋物線聯立解得M坐標，類似可得N點坐標，最后利用斜率公式求結果.

（1）由題意知：直線過定點，該點為拋物線焦點.

聯立，消去得：

設，

有，

…

，當時，

，解得

（2）證明：由已知可知直線PM、PN的斜率存在，且互為相反數

設，直線PM的方程為.

聯立，消去x整理得：.

又4為方程的一個根，所以，得

同理可得

所以直線MN的斜率為定值.