【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的極值點的個數；
（2）若有兩個極值點
，證明：
.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求出函數的導數，通過討論
的范圍，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值點；
（2）由（1）可知，當且僅當
時，
有兩個極值點
，且為方程
的兩根，
，求出
，根據函數的單調性證明即可.
（1）
.
①當
時，
.
當
時，
，所以在
上單調遞增；
當
時，
，所以在
上單調遞減.
即函數只有一個極大值點
，無極小值點.
②當時，
，
令
，得
.
當
時，，
所以在
上單調遞增；
當
時，，
所以在
上單調遞減.
即函數有一個極大值點
，有一個極小值點
.
③當
時，
，此時
恒成立，
即在
上單調遞增，無極值點.
綜上所述，當時，有且僅有一個極大值點，即只有1個極值點；
當時，有一個極大值點和一個極小值點，即有2個極值點；
當時，沒有極值點.
（2）由（1）可知，當且僅當時，
有兩個極值點，且為方程的兩根，
即，
所以
.
令
，
則
恒成立，
所以
在
上單調遞增，
所以
，
即
.
習題精選系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，
、
為橢圓的左、右焦點，
為橢圓上一點，且
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線
，過點的直線交橢圓于
、
兩點，線段
的垂直平分線分別交直線
、直線于
、
兩點，當
最小時，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線C:
與直線
交于A、B兩點.
（1）當
取得最小值為
時，求
的值.
（2）在（1）的條件下，過點
作兩條直線PM、PN分別交拋物線C于M、N（M、N不同于點P）兩點，且
的平分線與
軸平行，求證：直線MN的斜率為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線L：
（
）的焦點為F，過點
的動直線l與拋物線L交于A，B兩點，直線
交拋物線L于另一點C，直線
的最小值為4.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點A作y軸的垂線m，則x軸上是否存在一點
，使得直線PB與直線m的交點恒在一條定直線上？若存在，求該點的坐標及該定直線的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某地區某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區居民顯示可以過正常生活，有公共衛生專家建議的指標是“連續7天每天新增感染人數不超過5人”，根據連續7天的新增病例數計算，下列各個選項中，一定符合上述指標的是__________．
①平均數
； ②標準差
； ③平均數且標準差；
④平均數且極差小于或等于2； ⑤眾數等于1且極差小于或等于4.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為
的調查樣本，其中城鎮戶籍與農民戶籍各
人；男性
人，女性
人.繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則下列敘述中錯誤的是（ ）
A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關
B.是否傾向選擇生育二胎與性別無關
C.傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數與女性人數相同
D.傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮戶籍人數
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小學舉辦“父母養育我，我報父母恩”的活動，對六個年級（一年級到六年級的年級代碼分別為1，2…，6）的學生給父母洗腳的百分比y%進行了調查統計，繪制得到下面的散點圖．
（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；
（2）建立y關于x的回歸方程，并據此預計該校學生升入中學的第一年（年級代碼為7）給父母洗腳的百分比．
附注：參考數據：
參考公式：相關系數
，若r＞0.95，則y與x的線性相關程度相當高，可用線性回歸模型擬合y與x的關系．回歸方程
中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為
＝
，
．
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