Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為： ，直線的參數方程是（為參數， ）．

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）設直線與曲線交于兩點，且線段的中點為，求．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：(1) 利用將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，(2)根據直線參數方程幾何意義得，所以先將直線參數方程代入拋物線方程，利用韋達定理得，從而可解得．

試題解析：（I）曲線,即,于是有,化為直角坐標方程為:

（II）方法1: ,即

由的中點為得,有,所以,由 得

方法2:設,則,∵,∴,由 得.

方法3: 設,則由是的中點得, ,

∵,∴,知,∴,由 得.

方法4:依題意設直線,與聯立得,即,由得 ,因為 ,所以.