Question

已知命題p：f （x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，求實數a的取值范圍，使p、q中有且只有一個為真命題．

Answer 1

分析：先求得命題p中草藥范圍，再對x²+（a+2）x+1=0判別式△分類討論，分△＜和△≥0，使A∩B=∅，求出a的范圍；然后利用復合命題的真值表，根據“有且僅有一個真”分兩類求出a的范圍．

解答：解：命題p：|f（x）|＜2，|

1-a

3

|＜2?-5＜a＜7（2分）
命題q：設x²+（a+2）x+1=0判別式為△
當△＜0時，A=∅，此時△=（a+2）²-4＜0，-4＜a＜0
當△≥0時，由A∩B=∅得

△≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

?a≥0
∴a＞-4    （6分）
（1）若p真q假

-5＜q＜7 a≤-4

?-5＜a≤-4
（2）若p假q真

a≤-5或a≥7 a＞-4

?a≥7
∴實數a的取值范圍為（-5，-4]∪[7，+∞）（12分）

點評：本題考查二次不等式恒成立求參數范圍、二次不等式的解法、分類討論的數學思想方法．解答關鍵是復合命題的真假判斷表．