Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為，（為參數），直線的參數方程為（為參數，為實數），直線與曲線交于 兩點.

（1）若，求的長度；

（2）當面積取得最大值時（為原點），求的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)0.

【解析】試題分析：（1）聯立直線的參數方程和曲線，根據弦長公式可求解；（2）點到直線的距離為，則，若要面積取得最大值，則，可求得參數值，進而得到點的坐標.

解析：

（1）由（為參數），

可得曲線的普通方程為.

由直線的參數方程為（為參數），

可知直線的普通方程為.

由得，，.

故，

所以的長度.

（2）由直線的參數方程為（為參數，為實數），

可知直線過定點，

經驗證該點在橢圓上，

不妨設為點，則直線的方程為.

設，點到直線的距離為，

則.

若要面積取得最大值，

則，

得，，，.

此時或.

將代入直線的參數方程為，解得.

將代入直線的參數方程為，解得不存在.

所以.