Question

【題目】已知指數函數滿足:，定義域為的函數是奇函數.

(1)求的值；

(2)判斷函數的單調性并用定義加以證明；

(3)若對任意的 ，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)依題意設（或），由可求出值，再根據奇函數的定義可得，，，即可求出；

(2) 按照單調性定義證明的步驟，取值－作差－變形－定號－下結論，即可證出；

(3)根據函數的奇偶性和單調性，即可將轉化為，再利用分離參數法將分離，轉化去求在上的最小值，即可求出的取值范圍．

(1)依題意設（或），由得，，解得，

所以，．

是R上的奇函數，， 即，所以，

又，即，解得，檢驗符合題意．

，

是R上的減函數．理由如下：

設，則

，，所以，即．

故是R上的減函數．

(3)

，

是R上的奇函數，，

是R上的減函數，，因為，

，對任意的 恒成立，因為當且僅當時卻等號，∴．