Question

如圖：直三棱柱（側棱⊥底面）ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=，CD⊥AB,垂足為D.

（1）求證：BC∥平面AB₁C₁;
（2）求點B₁到面A₁CD的距離.

Answer 1

（1）見解析    （2）

（1）證明：直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁,
又BC平面A B₁C₁，B₁C₁平面A B₁C₁，∴B₁C₁∥平面A B₁C₁；
（2）（解法一）∵CD⊥AB且平面ABB₁A₁⊥平面AB C, 
∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥AD且CD⊥A₁D ,
∴∠A₁DA是二面角A₁—CD—A的平面角，
在Rt△ABC,AC=1,BC=,
∴AB=,又CD⊥AB，∴AC²=AD×AB
∴AD=，AA₁=1，∴∠DA₁B₁=∠A₁DA=60°，∠A₁B₁A=30°，∴AB₁⊥A₁D
又CD⊥A₁D，∴AB₁⊥平面A₁CD，設A₁D∩AB₁=P,∴B₁P為所求點B₁到面A₁CD的距離.
B₁P=A₁B₁cos∠A₁B₁A= cos30°=.
即點到面的距離為．
（2）（解法二）由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D=××=，而cos∠A₁CD=×=,
S_△A1CD=×××=,設B₁到平面A₁CD距離為h,則×h=,得h=為所求.
（3）（解法三）分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系（如圖）則A（1，0，0），A₁（1，0，1），
C（0，0，0），C₁（0，0，1），
B（0，，0），B₁（0，，1），

∴D（，，0）=（0，，1），設平面A₁CD的法向量=（x，y，z），則
，取=（1，-，-1）
點到面的距離為d=