Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若直線y=3x﹣1是函數f（x）圖象的一條切線，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在[1，e2]上的最大值為1﹣ae（e為自然對數的底數），求實數a的值；
（3）若關于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且僅有唯一的實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）= =3，

∴x= ，則f（ ）=ln ﹣ ，

∴ln ﹣ = -1，得ln =0，即a=﹣2

（2）解：f′（x）= ，

當a≤ 時，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上為增函數，

故f（x）的最大值為f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得 （舍）；

當 ＜a＜1時，若x∈[1， ]，f′（x）＞0，x∈[ ,2]，f′（x）＜0，

故f（x）在[1，e2]上先增后減，故 ，

f（1）=﹣a，f（e2）=2﹣ae2，

即當 時， ，得 （舍）；

當 時，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a= ；

當a≥1時，故當x∈[1，e2]時，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的減函數，

故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a= （舍）；

綜上，a=

（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）ln（2x2﹣x﹣3t） （2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t） （x﹣t），

令g（x）=lnx+ ，則g（x）在（0，+∞）上是增函數，

又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），

∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t2（x2﹣x﹣t）=0，

即 ，

作出圖象如圖：由圖可知，實數t的取值范圍是t=﹣ 或0＜t＜2．

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到x= ，求出f（ ）=ln ﹣ ，代入直線y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函數的導函數，然后對a分類得到函數在[1，e2]上的單調性，并進一步求出函數在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）轉化為ln（2x2﹣x﹣3t） （2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t） （x﹣t），構造函數g（x）=lnx+ ，則g（x）在（0，+∞）上是增函數，得到 ，畫出圖形，數形結合得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．