Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an+1= Sn ． 求證：
（1）數列{ }成等比；
（2）Sn+1=4an ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1= Sn，

∴Sn= ，Sn﹣1= ，n≥2

∴an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

即2n× = ，

∵n≠0，∴ = ，

∴ ，（n≥2）

即 ： =2，

n=1時， = =1，

∴{ }是首項為1，公比為2的等比數列．

（2）證明：∵{ }是首項為1，公比為2的等比數列，

∴ =2n﹣1，∴Sn=n2n﹣1，

∴an+1= Sn= =（n+2）2n﹣1，

∴an=（n+1）2n﹣2．

∴Sn+1=（n+1）2n=4an．
【解析】（1）由an+1= Sn ， 知Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，從而 = ，進而 ，（n≥2），由此能證明{ }是首項為1，公比為2的等比數列．（2）由（1）可知Sn=n2n﹣1 ， an=（n+1）2n﹣2 ． 由此能證明Sn+1=（n+1）2n=4an ．
【考點精析】利用等比關系的確定和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．