Question

在直角坐標平面上給定一曲線y²=2x,
(1)設點A的坐標為,求曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|.
(2)設點A的坐標為(a,0),a∈R,求曲線上的點到點A距離的最小值d_min,并寫出d_min=f(a)的函數表達式.

Answer 1

（1）|PA|=      （2）d_min=f(a)=

(1)設M(x,y)為曲線y²=2x上任意一點,
則|MA|²=+y²=x²+x+=+,
因為x∈[0,+∞),所以當x=0時,
|MA=+=,即|MA|_min=.
所以距點A最近的點P坐標為(0,0),這時|PA|=.
(2)依題意得,
d²=(x-a)²+y²=x²-2ax+a²+2x
=x²-2(a-1)x+a²
=[x-(a-1)]²+(2a-1)
因為x∈[0,+∞),
所以分a-1≥0和a-1<0兩種情況討論.
當a≥1時,=2a-1,即d_min=,
當a<1時,=[0-(a-1)]²+(2a-1)=a²,
即d_min=|a|.
這時恰好拋物線頂點(0,0)與點A(a,0)最近.
所以d_min=f(a)=