Question

在平面直角坐標系中，已知圓 的圓心為，過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB,是否存在常數，使得直線OD與PQ平行？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先設出直線的方程，由直線與圓有兩個不同的交戰，故聯立圓方程可得得一元二次方程，由判別式大于0可得K的取值范圍為；（Ⅱ）沒有符合題意的常數,理由見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）；（Ⅱ）由向量加減法，可利用向量處理，設，則，由與共線等價于，然后由根與系數關系可得，由（Ⅰ）知，故沒有符合題意的常數.注意運用向量法和方程的思想.

試題解析：（Ⅰ）圓的方程可寫成，所以圓心為，

過且斜率為的直線方程為．

代入圓方程得，整理得．　　　①

直線與圓交于兩個不同的點等價于，

解得，即的取值范圍為．

（Ⅱ）設，則，

由方程①，　　　　②

又．　　③

而．

所以與共線等價于，

將②③代入上式，解得 

由（Ⅰ）知，故沒有符合題意的常數．

考點：1.直線與圓的位置關系；2.一元二次方程的根的判別式；3.向量共線的充要條件.