Question

平面上有n個圓，其中每兩個圓之間都相交于兩個點，每三個圓都無公共點，它們將平面分成f（n）塊區域，則f（n）的表達式是（　　）

A．2n	B．2n-（n-1）（n-2）（n-3）
C．n3-5n2+10n-4	D．n2-n+2

Answer 1

∵一個圓將平面分為2份
兩個圓相交將平面分為4=2+2份，
三個圓相交將平面分為8=2+2+4份，
四個圓相交將平面分為14=2+2+4+6份，
…
平面內n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且任意三個圓不相交于同一點，
則該n個圓分平面區域數f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
證明：（1）當n=1時，一個圓把平面分成兩個區域，而1²-1+2=2，命題成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k²-k+2個區域．
當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此增加了2k個區域，
共有k²-k+2+2k=（k+1）²-（k+1）+2個區域．
∴n=k+1時，命題也成立．
由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．
故選D．