Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的長軸長為4，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的動直線l交C于A，B兩點，若|AF₂|+|BF₂|的最大值為7，則b的值為1．

Answer 1

分析 由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=b²，|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于7列式求b的值．

解答 解：由橢圓長軸長為4，則a=2，則0＜b＜2，
∵過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，∴|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a=8
∴|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
此時|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=b²，∴7=8-b²，
解得b=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓焦點的弦中通徑的長最短，屬于中檔題．